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Wann ist etwas nicht differenzierbar?

Gefragt von: Frieda Vetter  |  Letzte Aktualisierung: 22. September 2022
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Merke: Eine Funktion, deren Ableitungsfunktion f' stetig ist, nennst du stetig differenzierbar. Die folgenden Zusammenhänge solltest du kennen: f ist differenzierbar ⇒ f ist stetig. f ist nicht stetig ⇒ f ist nicht differenzierbar.

Wann ist eine Ableitung nicht differenzierbar?

Eine Funktion f ist an der Stelle nicht differenzierbar, wenn die links- seitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Definition: Bei einer “Knickstelle” ist das immer der Fall. Liegt eine solche Knickstelle in einem Intervall I, so wird die Funktion als nicht differenzierbar im Intervall I bezeichnet.

Wie überprüfe ich ob eine Funktion differenzierbar ist?

Eine an der Stelle x 0 x_0 x0 stetige Funktion f ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt: lim ⁡ x → x 0 − f ′ ( x ) = lim ⁡ x → x 0 + f ′ ( x ) .

Wann kann man eine Funktion nicht ableiten?

So ist etwa die Funktion f : R → R mit f ( x ) = { x sin ⁡ 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 stetig und gemäß der Kettenregel in R ∖ { 0 } differenzierbar mit. Da Q f ( 0 , x ) = f ( x ) − f ( 0 ) x = sin 1 x für x → 0 nicht konvergiert, ist f nicht differenzierbar an der Stelle 0 (Abbildung 1).

Ist jede Funktion differenzierbar?

Da jede differenzierbare Funktion stetig ist, ist umgekehrt jede unstetige Funktion (zum Beispiel eine Treppenfunktion oder die Dirichlet-Funktion) ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gibt aber auch Funktionen, die zwar stetig sind, aber nicht oder nicht überall differenzierbar.

Warum ist eine nicht stetige Funktion an der Stelle nicht differenzierbar? Mathe by Daniel Jung

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Wann ist eine Funktion stetig aber nicht differenzierbar?

In der Mathematik bezeichnet man als Weierstraß-Funktion ein pathologisches Beispiel einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen. Diese Funktion hat die Eigenschaft, dass sie überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Sie ist nach ihrem Entdecker Karl Weierstraß benannt.

Ist f x )= 0 differenzierbar?

(i) Die konstante Funktion f : R → R,x → f(x) = c (c ∈ R gegeben) ist auf R differenzierbar und es gilt f (x) = 0 für alle x ∈ R.

Ist eine lineare Funktion differenzierbar?

Definitionen. Differenzierbare Funktionen sind genau diejenigen Funktionen, die lokal durch genau eine lineare Funktion approximierbar sind.

Wann ist eine Funktion stetig und differenzierbar?

Eine Funktion ist stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre ->Ableitungsfunktion stetig ist. Beispiel: Die Funktion f mit f(x) = 2x³+5x²+10 besitzt die stetige Ableitung f' mit f'(x) = 6x²+10x. Alle ->ganzrationalen Funktionen sind stetig differenzierbar.

Wann ist etwas total differenzierbar?

Wenn alle partiellen Ableitungen von existieren und stetig in sind, so ist die Funktion am Punkt total differenzierbar.

Ist die wurzelfunktion in 0 differenzierbar?

Der Grenzwert existiert nicht, also kann f in 0 nicht differenzierbar sein.

Ist Null differenzierbar?

Es handelt sich um eine konstante Funktion. Eigenschaften: Definitionsmenge: D( f ) = IR ; Wertemenge: W ( f ) = { 0 }; (Mehr ist nicht drin.) stetig, differenzierbar; Symmetrie: Als einzige Funktion, die überall auf IR definiert ist, ist die Nullfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung und achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ist eine gerade differenzierbar?

Eine Gerade mit unendlicher Steigung und der Geradengleichung x = 0 - klicken Sie bitte auf die Lupe. In der letzten Lektion haben wir bereits erfahren, dass eine Funktion f(x) an der Stelle x0 nur dann differenzierbar ist, wenn sie an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit endlicher Steigung hat.

Wann ist ein Punkt nicht differenzierbar?

Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle x0 stetig, aber nicht differenzierbar sein. Ist f in x0 allerdings differenzierbar, dann ist sie in x0 auch stetig.

Wie oft ist f differenzierbar?

Die Funktion f(n) : D(n) → R heißt die n-te Ableitung von f. Ist t0 ∈ D(n), dann heißt f(n)(t0) die n-te Ableitung von f in t0. (iii) f heißt beliebig (oder unendlich) oft differenzierbar in t0, wenn f n-mal differenzierbar in t0 für alle n ∈ N ist.

Warum ist jede differenzierbare Funktion stetig?

Die Betragsfunktion h(x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Aus Stetigkeit folgt nicht Differenzierbarkeit (z.B. Betragsfunk- tion), aber umgekehrt: Satz. Ist die Funktion f :]a, b[→ R an der Stelle ξ differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.

Sind integrierbare Funktionen differenzierbar?

Damit ist die Integrierbarkeit eine schwächere Forderung als die Differenzierbarkeit. Achtung: Jede stetige Funktion ist integrierbar, die Umkehrung gilt dagegen nicht: es gibt auf einem Intervall integrierbare Funktionen, die dort nicht (überall) stetig sind!

Wann ist etwas integrierbar?

Funktion f, für die das μ-integral über |f| endlich ist. Es sei ( Ω , A , μ ) ein Maßraum und f : Ω → ℝ bzw. eine meßbare Funktion. Dann heißt f für 1 ≤ p < ∞ p-fach μ-integrierbar, falls das μ-Integral über |f| p endlich ist, insbesondere μ-integrierbar im Falle p = 1.

Welche Funktionen sind nicht stetig?

Eine Funktion ist an der Stelle x0 stetig, wenn sie 3 Bedingungen erfüllt: Die Funktion ist an der Stelle x0 definiert: f(x0) existiert. Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind an der Stelle x0 gleich: Der beidseitige Grenzwert.

Wann ist eine Matrix differenzierbar?

differenzierbar, wenn alle f k f_k fk stetig bzw. differenzierbar sind. Die n × m n\cross m n×m Matrix der partiellen Ableitungen.

Wann gilt der Satz von Schwarz?

Der Satz von Schwarz lautet folgendermaßen: Sei U⊆Rn eine offene Menge sowie f:U→R p-mal differenzierbar und sind alle p-ten Ableitungen in U zumindest noch stetig, so ist die Reihenfolge der Differentation in allen q-ten Ableitungen mit q≤p unerheblich.

Ist f differenzierbar an x0 so ist f auch stetig an x0?

Ist f stetig auf X0 ⊆ D(f ) , so heißt f stetig differenzierbar auf X0 und man schreibt f ∈ C1(X0) . (x0) = f (x0) . Elementare Beispiele. 1) Die konstante Funktion f : R → R mit f(x) = a ∀ x ∈ R ist für jedes x0 ∈ R differenzierbar und es gilt f (x)=0 ∀ x ∈ R .

Ist f differenzierbar so ist f stetig?

Wenn eine Funktion f in x 0 x_0 x0 differenzierbar ist, so ist f dort auch stetig.

Was ist eine dreimal differenzierbare Funktion?

eine stetig differenzierbare Kurve α(t) derart, daß neben α′(t) auch die Ableitungen α″(t) und α‴(t) existieren und stetig sind.

Wo ist die Funktion stetig?

Stetig sind:

Alle Polynome, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen. Dies sind elementare Funktionen.